Question

【題目】已知函數f（x）=eax﹣x，其中a≠0．
（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函數f（x）的圖象上取定兩點A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）（x1＜x2），記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1 ， x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若a＜0，則對一切x＞0，函數f（x）=eax﹣x＜1，這與題設矛盾，

∵a≠0，∴a＞0

∵f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0，可得

令f′（x）＜0，可得 ，函數單調減；令f′（x）＞0，可得 ，函數單調增，

∴ 時，f（x）取最小值

∴對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則 ①

令g（t）=t﹣tlnt，則g′（t）=﹣lnt

當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增；當t＞1時，g′（t）＜0，g（t）單調遞減

∴t=1時，g（t）取最大值g（1）=1

∴當且僅當 =1，即a=1時，①成立

綜上所述，a的取值集合為{1}

（2）

解：由題意知，

令φ（x）=f′（x）﹣k= ，則

令F（t）=et﹣t﹣1，則F′（t）=et﹣1

當t＜0時，F′（t）＜0，函數單調減；當t＞0時，F′（t）＞0，函數單調增；

∴t≠0時，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0

∴ ，

∵ ＞0，

∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0

∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0

∵φ（x）單調遞增，故這樣的c是唯一的，且

當且僅當x∈（ ，x2）時，f′（x）＞k

綜上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范圍為（ ，x2）

【解析】（1）先確定a＞0，再求導函數，確定函數的單調性，可得 時，f（x）取最小值 故對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則 ，構建新函數g（t）=t﹣tlnt，則g′（t）=﹣lnt，確定函數的單調性，求出函數的最大值，由此即可求得a的取值集合；（2）由題意知， ，構建新函數φ（x）=f′（x）﹣k= ，則 ， ，構建函數F（t）=et﹣t﹣1，從而可證明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1 ， x2），使f′（x0）＞k成立．