Question

如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA₁=,點D是AB的中點.

（1）求證：CD⊥平面ABB₁A₁；

（2）求二面角A-A₁B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B₁—A₁BC的體積；

（4）求BC₁與平面A₁BC所成角的正弦值.

Answer 1

（1）證明:∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，?

∴面ABC⊥面AA₁B₁B,交線為AB.?

又∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°,?∴CA=CB.?

又D是AB的中點，∴CD⊥AB.?

∴CD⊥平面AA₁B₁B.?

（2）解析：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=.?

作DE⊥A₁B于E，連結(jié)CE.?

由（1）知，CD⊥面AA₁B₁B，∴CE在面AA₁B₁B內(nèi)的射影是DE.?

由三垂線定理知CE⊥A₁B,?∴∠CED?是二面角C-A₁B-A的平面角.?

又∵D是AB中點，?

∴DE=DB=.?

又CD=AB=,?

在Rt△CDE中，tan∠CED=,故二面角A-A₁B-C的平面角的正切值為.?

（3）解析：由等積代換法得V_B1—A1BC=V_C—A1B1B?，∵AA₁B₁B是矩形，∴△AA₁B的面積等于△A₁B₁B的面積.?

∴V_C—A1B1B?=V_C—AA1B?=·S_△AA1B?·CD=.?

∴V_B1—A1BC?=.?

（4）解析：設(shè)C₁B與面A₁BC所成的角為θ,點C₁到平面A₁BC的距離為d.?

∴d=C₁B·sinθ.又由直三棱柱性質(zhì)得C₁B=.?

C₁到面A₁BC的距離是以C₁為頂點,△A₁BC為底面的三棱錐C₁—A₁BC的高,∴V_C1—A1BC=V_B—A1C1C .?

∴△A₁C₁C的面積是矩形AA₁C₁C的面積的一半.?

∴S_△A1C1C?=.?

∵BC⊥AC，CC₁⊥BC，?

∴BC⊥面AA₁C₁C.?

∴V_B—A1C1C?=×S_△A1C1C ×BC=.?

又在△A₁BC中，A₁B==2，A₁C=,BC=1，BC⊥A₁C.?

∴S_△A1BC?=·A₁C·BC?

=.?

∴V_C1—A1BC?=.?

∴.?

∴d=.?

又d=C₁Bsinθ,即sinθ=,?

∴sinθ=,?

即BC₁與平面A₁BC所成角的正弦值為.