Question

【題目】已知函數f（x）=（）x.

（Ⅰ）當x∈[﹣1，1]時，求函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實數m＞n＞3，使得g（x）的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）g（a）=（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在的情況下，求出的值域，對所給函數進行配方化簡，可利用一元二次函數的性質對進行分類討論，可得函數的最小值；（Ⅱ）假設存在，利用（Ⅰ）中分段函數在的單調性，結合區間與值域，可得關于的等式，解得存在情況．

試題解析：（Ⅰ）∵x∈[﹣1，1]，∴f（x）=（）x∈[，3]，

y=[f（x）]2﹣2af（x）+3=[（）x]2﹣2a（）x+3

=[（）x﹣a]2+3﹣a2. .

由一元二次函數的性質分三種情況：

若a＜，則當時，ymin=g（a）=；

若≤a≤3，則當時，ymin=g（a）=3﹣a2；

若a＞3，則當時，ymin=g（a）=12﹣6a.

∴g（a）=

（Ⅱ）假設存在滿足題意的m、n，

∵m＞n＞3，且g（x）=12﹣6x在區間（3，+∞）內是減函數，

又g（x）的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]，

∴

兩式相減，得6（m﹣n）=（m+n）（m﹣n），

∵m＞n＞3，∴m+n=6，但這與“m＞n＞3”矛盾，

∴滿足題意的m、n不存在.