Question

【題目】如圖1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于點A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如圖2），使∠P'AD=90°． （Ⅰ）求證：CD⊥平面P'AC；
（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；
（Ⅲ）線段P'A上是否存在點M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出點M的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD． 因為在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱錐中，AB⊥AP'．
又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．
因為CD面ABCD，所以P'A⊥CD．
因為等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，
且AB=BC=1．
所以 ， ，AD=2．所以AC2+CD2=AD2 ．
所以AC⊥CD．
因為P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，
如圖，建立空間直角坐標系，A（0，0，0），B（1，0，0），
C（1，1，0），D（0，2，0），P'（0，0，1）．
所以 ， ．
由（Ⅰ）知，平面P'AD的法向量為 ，
設 為平面P'CD的一個法向量，則 ，即 ，
再令y=1，得 ． = = ．
所以二面角A﹣P'D﹣C的余弦值為 ．
（Ⅲ）線段P'A上存在點M，使得BM∥平面P'CD．
依題意可設 ，其中0≤λ≤1．所以M（0，0，λ）， ．
由（Ⅱ）知，平面P'CD的一個法向量 ．
因為BM∥平面P'CD，所以 ，
所以 ，解得 ．
所以，線段P'A上存在點M，使得BM∥平面P'CD

【解析】（Ⅰ）推導出P'A⊥AD，AB⊥AP'，從而P'A⊥面ABCD，進而P'A⊥CD，再推導出AC⊥CD，由此能求出CD⊥平面P'AC．（Ⅱ）推導出P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，從而建立空間直角坐標系，求出平面P'AD的法向量和平面P'CD的一個法向量，利用向量法能求出二面角A﹣P'D﹣C的余弦值．（Ⅲ）設 ，利用向量法能求出線段P'A上存在點M，使得BM∥平面P'CD．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．