Question

函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示.

(1)求f(x)的最小正周期及解析式.
(2)設g(x)=f(x)-cos2x,求函數g(x)在區間[0,]上的最大值和最小值.

Answer 1

(1) f(x)=sin(2x+)
(2) 當2x-=,即x=時,g(x)取最大值為1;
當2x-=-,即x=0時,g(x)取最小值為-.

【思路點撥】(1)由圖象及題設中的限制條件可求A,ω,φ.
(2)將f(x)代入g(x)整理化簡為一個三角函數,再由x的范圍求最值即可.
解：(1)由圖可得A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2.
當x=時,f(x)=1,
可得sin(2×+φ)=1,
因為|φ|<,所以φ=.
所以f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+).
(2)g(x)=f(x)-cos2x
=sin(2x+)-cos2x
=sin2xcos+cos2xsin-cos2x
=sin2x-cos2x
=sin(2x-).
因為0≤x≤,所以-≤2x-≤.
當2x-=,即x=時,g(x)取最大值為1;
當2x-=-,即x=0時,g(x)取最小值為-.
【方法技巧】由圖象求解析式和性質的方法和技巧
(1)給出圖象求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的難點在于ω,φ的確定,本質為待定系數,基本方法是①尋找特殊點(平衡點、最值點)代入解析式;②圖象變換法,即考察已知圖象可由哪個函數的圖象經過變換得到,通常可由平衡點或最值點確定周期T,進而確定ω.
(2)由圖象求性質的時候,首先確定解析式,再根據解析式求其性質,要緊扣基本三角函數的性質.例如,單調性、奇偶性、周期性和對稱性等都是考查的重點和熱點.