Question

已知向量

m

=(-2sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，2cosx)，函數(shù)f(x)=1-

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）說(shuō)明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)降冪公式和和角公式，把f（x）化成正弦型函數(shù)再求最小正周期
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）利用左加右減，與伸縮變換的原則，直接說(shuō)明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經(jīng)過(guò)變換而得到．

解答：解：（1）∵

m

=(-2sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，2cosx)，
f(x)=1-

m

•

n

=1-2

3

sinxcosx+2cos²x=2sin（2x-

π

6

）    
所以函數(shù)的正確為

2π

2

=π；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得0≤x≤

π

3

和

5π

6

≤x≤π，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．
（3）將g（x）=sinx的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），
最后把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

（橫坐標(biāo)不變），
得到f（x）=2sin（2x-

π

6

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查向量的數(shù)量積和整體代換思想．是三角函數(shù)和向量的交匯題型．屬簡(jiǎn)單題