Question

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（－1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，且點的坐標為.

試題分析：(1)本題只要直接設出動點的坐標為，用表示出已知條件，即可求出所求軌跡方程；（2）此問題存在性問題，解決的方法是假設這個點存在，然后根據已知條件去求這個點，若能求出，則存在，若求不出，則不存在在．即設存在題設的點，其坐標為，然后求出的坐標，進而求出和，令＝，求．當然考慮到△PAB與△PMN有一對對頂角，也可這樣求三角形的面積：，，由于，所以由＝，得，也即，這個式子可很快求出．
試題解析：（1）解：因為點B與A關于原點對稱，所以點得坐標為，
設點的坐標為由題意得 ，化簡得：.
故動點的軌跡方程為：             4分
（2）解法一：設點P的坐標為，點M，N的坐標為，
則直線AP的方程為，直線BP的方程為，
令，得，．
于是的面積是，
又直線AB的方程為，，點P到直線AB的距離，
于是的面積
當＝時，，
又，∴，解得，
又，∴，
故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時P點坐標為．
解法二：若存在點使得與的面積相等，設點的坐標為
則.
因為, 所以，
所以 即，解得．
因為，所以故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標為.              10分