Question

一只球放在桌面上不動，桌面上一個點A的正上方有一點光源O，OA與球相切．光源O不動，讓點A在桌面上移動，OA始終與球相切，OA形成一個軸截面頂角為30°的圓錐面的一部分，則點A運動軌跡的離心率為

2-

3

．

Answer 1

分析：根據圓曲線的第一定義，作出過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，可得等腰直角三角形AOA′，在此三角形中利用切線長定理，可以求出焦點到長軸頂點距離AF與AA′的關系式，再根據橢圓的幾何性質，化為關于橢圓的參數a、c的等量關系，即可求出橢圓的離心率．

解答：解：如圖是過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，根據圓錐曲線的定義，
可得球與長軸AA′的切點是橢圓的焦點F，OA⊥AA′
設光線OA與球相切于點E，OA′與球相切于點D
令AA′=2a
∵直角三角形AOA′中，OA=

3

AA′=

3

2

OA′
∴OA=2

3

a，OA′=4a，
∴AF=AE=

1

2

（OA+AA′-OA′）=（

3

-1）a
根據橢圓的幾何性質，得AF是焦點到長軸頂點的距離AF=a-c
即a-c=（

3

-1）a
∴

c

a

=2-

3

所以所求橢圓的離心率為2-

3

故答案為：2-

3

點評：本題以空間的圓錐為載體，考查了圓錐曲線的形成過程，同時考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關系和橢圓的定義與性質，是解決本題的關鍵．