Question

【題目】已知拋物線過點，且焦點為，直線與拋物線相交于兩點.

（1）求拋物線的方程，并求其準線方程；

（2）若直線經過拋物線的焦點，當線段的長等于5時，求直線方程.

（3）若，證明直線必過一定點，并求出該定點.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析，.

【解析】

試題分析：（1）由，得，拋物線的方程為，進而求解拋物線的準線方程；（2）若直線經過焦點，則直線的方程為，即可求解和，再由，即可求解該直線方程；（3）設直線的方程為代入，得，設，則，，再利用，求得，即可判定直線過定點.

試題解析：（1）由，得，拋物線的方程為，

其準線方程為，焦點為.

（2）若直線經過拋物線的焦點，則直線的方程為.

，，則，

所以，得，，直線方程為.

（3）設直線的方程為代入，得.

設，，

則，.

，

∴，直線必過一定點.