Question

在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線：x-

3

y=4相切
（1）求圓O的方程
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：首先分析到題目（1）中圓是圓心在原點的標準方程，由切線可直接求得半徑，即得到圓的方程．對于（2）根據圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，列出方程，再根據點P在圓內求出取值范圍．

解答：解：（1）依題設，圓O的半徑r等于原點O到直線x-

3

y=4的距離，
即r=

4

1+3

=2．
得圓O的方程為x²+y²=4．
（2）不妨設A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=4即得A（-2，0），B（2，0）．
設P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比數列，得

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，
即x²-y²=2.

PA

•

PB

=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于點P在圓O內，故

x2+y2＜4 x2-y2=2.

由此得y²＜1．
所以

PA

•

PB

的取值范圍為[-2，0）．

點評：此題主要考查圓的標準方程的求法，以及圓與直線交點問題，屬于綜合性試題，有一定的計算量，難易中等．