Question

（本題滿分14分）已知正四棱錐的底面邊長為，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：//平面；

（Ⅱ）若是二面角的平面角，求直線與平面所成角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）直線與平面所成角的余弦值為

【解析】本題主要考查立體幾何線面平行、直線與平面所成的角和二面角，同時考查空間想象能力和推理論證能力.

（1）利用線面平行的判定定理可以證明該結(jié)論。

（2）而線面角的求解可以運(yùn)用三垂線制作出角，然后借助于直角三角形求解得到結(jié)論。

（Ⅰ）解：連結(jié)與交于點(diǎn),連結(jié).

又平面,平面.

平面.

（Ⅱ）解：是二面角的平面角,

,

平面，

取中點(diǎn),連結(jié),交于點(diǎn),則,

又側(cè)棱長為

平面，

就是直線與平面所成的角.

又則

故直線與平面所成角的余弦值為

（用等體積法或者空間向量等方法同樣給分）