Question

橢圓具有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．今有一個水平放置的橢圓形球盤，點A，B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，小球（半徑忽略不計）從點A沿著不與AB重合的直線出發，經橢圓球盤壁反射后第一次回到點A時，小球經過的路程是（　　）

A．4c

B．4a

C．2a-2c

D．2a+2c

Answer 1

分析：作出示意圖如右圖，設小球從右焦點A出發，被橢圓上點C反射后，經過橢圓的左焦點B，又被橢圓上點D反射，由D點被彈回A點．由橢圓的定義不難得到△ACD周長為AC+AD+CD=（CA+CB）+（DA+DB）=4a，即得小球經過的路程．

解答：解：如圖，設小球從右焦點A出發，被橢圓上點C反射后，
經過橢圓的左焦點B，又被橢圓上點D反射，由D點被彈回A點
∵A、B是橢圓的焦點，點C、D都在橢圓上
∴根據橢圓的定義，得CA+CB=DA+DB=2a，其中2a是橢圓的長軸長
∴△ACD周長為AC+AD+CD=（CA+CB）+（DA+DB）=4a
即小球經過的路程等于4a
故選B

點評：本題以小球在橢圓形球盤內的反射為例，求它從一個焦點出發后回到起點所經過的路程，著重考查了橢圓的定義及簡單性質，屬于基礎題．