Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x 軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=

1

8

x2的焦點，離心率等于

5

3

（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，是否存在這樣的直線l，使

OA

•

OB

=0？若存在，求出直線l的方程，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定拋物線焦點坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）分類討論，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵拋物線y=

1

8

x2，可化為x²=8y，焦點坐標(biāo)為（0，2），∴b=2
∵離心率等于

5

3

，∴

c

a

=

5

3

∴

a2-4

a2

=

5

9

∴a²=9
∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）①斜率不存在時，可得A（2，

2 5

3

），B（2，-

2 5

3

），不滿足

OA

•

OB

=0；
②斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y可得（4+9k²）x²-36k²x+36k²-36=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

36k2

4+9k2

，x₁x₂=

36k2-36

4+9k2

∴y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-

20k2

4+9k2

∵

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

36k2-36

4+9k2

+

20k2

4+9k2

=0
∴k=±

3

14

14

∴直線l的方程為y=±

3

14

14

（x-2）．

點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．