Question

定義：若在上為增函數，則稱為“k次比增函數”，其中. 已知其中e為自然對數的底數.
（1）若是“1次比增函數”，求實數a的取值范圍；
（2）當時，求函數在上的最小值；
（3）求證：.

Answer 1

(1) ;(2)詳見解析；(3)詳見解析.3.詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由于是“1次比增函數”，得到在上為增函數，求導后，導數大于等于0，分離參數，轉化為恒成立，求最值的問題，即可得到實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當時，得到函數,，利用導數即可得到的單調區間，分成,三種情況進行分類討論即可函數在上單調性，進而得到其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）當時， ,即，則，即可證明：.，
試題解析：（1）由題意知上為增函數，因為在上
恒成立.又，則在上恒成立，
即在上恒成立. 而當時，，所以，
于是實數a的取值范圍是.            4分
（2）當時，，則.
當，即時，；
當，即時，.
則的增區間為（2，＋∞），減區間為（－∞，0），（0，2）.  6分
因為，所以，
①當，即時，在[]上單調遞減，
所以.
②當，即時，在上單調遞減，
在上單調遞增，所以.
③當時，在[]上單調遞增，所以.
綜上，當時，；
當時，；
當時，.          9分
（3）由（2）可知，當時，，所以，
可得