Question

在△ABC中，三個內角分別為A，B，C，且cos（A-

π

3

）=2cosA
（1）若cosC=

6

3

，BC=3，求AC．
（2）若B∈（0，

π

3

），且cos（A-B）=

4

5

，求sinB．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：已知等式左邊利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后求出tanA的值，確定出A的度數；
（1）由cosC的值，利用同角三角函數間的基本求出sinC的值，進而求出sinB的值，利用正弦定理求出AC的長即可；
（2）由B的范圍，求出A-B的范圍，由cos（A-B）的值求出sin（A-B）的值，將sinB變形為sin[A-（A-B）]，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：∵cos（A-

π

3

）=2cosA，
∴cosAcos

π

3

+sinAsin

π

3

=2cosA，即sinA=

3

cosA，
∵A∈（0，π），且cosA≠0，
∴tanA=

3

，
則A=

π

3

；
（1）∵sin²C+cos²C=1，cosC=

6

3

，C∈（0，π），
∴sinC=

1-cos2C

=

3

3

，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

=

3 2 + 3

6

，
由正弦定理知：

AC

sinB

=

BC

sinA

，即

AC

3 2 + 3 6

=

3

3 2

，
則AC=1+

6

；
（2）∵B∈（0，

π

3

），∴A-B=

π

3

-B∈（0，

π

3

），
∵sin²（A-B）+cos²（A-B）=1，cos（A-B）=

4

5

，
∴sin（A-B）=

3

5

，
則sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=

3

2

×

4

5

-

1

2

×

3

5

=

4 3 -3

10

．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．