Question

設復數z₁=1+2ai，z₂=a-i（a∈R），A={z||z-z1|＜

2

}，B={z||z-z2|≤2

2

}，已知A∩B=∅，則a的取值范圍是

a≤-2或a≥

8

5

．

Answer 1

分析：利用復數的減法的幾何意義可得：集合A是以O₁（1，2a）為圓心，r=

2

為半徑的圓的內部的點所對應的復數集合；集合B是以O₂（a，-1）為圓心，R=2

2

為半徑的圓周及其內部的點所對應的復數集合．由已知A∩B=∅，可得|O₁O₂|≥R+r．解出即可．

解答：解：∵復數z₁=1+2ai，z₂=a-i（a∈R），
∴|z-z1|＜

2

即|z-(1+2ai)|＜

2

；
|z-z2|≤2

2

，即|z-(a-i)|≤2

2

．
由復數的減法的幾何意義可得：集合A是以O₁（1，2a）為圓心，r=

2

為半徑的圓的內部的點所對應的復數集合；
集合B是以O₂（a，-1）為圓心，R=2

2

為半徑的圓周及其內部的點所對應的復數集合．
∵A∩B=∅，∴|O₁O₂|≥R+r．
∴

(1-a)2+(2a+1)2

≥3

2

．
解得a≤-2或a≥

8

5

．
故答案為a≤-2或a≥

8

5

．

點評：熟練掌握復數的減法的幾何意義、圓的標準方程、交集的運算、一元二次不等式的解法等是解題的關鍵．