Question

已知矩陣M1=

2 1 -2 -3

，矩陣M₂表示的是將每個點繞原點逆時針旋轉

π

2

得到的矩陣，M=M₂M₁
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．

Answer 1

分析：（Ⅰ）繞原點逆時針旋轉90°的變換M₂=

0 -1 1 0

，再利用矩陣的乘法即可得M；
（Ⅱ）先求出矩陣M的特征多項式，進而可求矩陣M的特征值．利用方程組可求相應的特征向量．

解答：解：（Ⅰ）繞原點逆時針旋轉90°的變換M₂=

0 -1 1 0

．（4分）
∴M=M₂M₁=

2 3 2 1

--------（5分）
（Ⅱ）由陣M的特征多項式為f（λ）=

.

λ-2 -3 -2 λ-1

.

=λ²-3λ-4
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與4．
當λ=-1時，x+y=0，此時的一個特征向量為

1   -1

；
當λ=4時，2x-3y=0此時的一個特征向量為

3   2

．--------（13分）

點評：本題考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算，解題時要注意特征值與特征向量的計算公式的運用．