Question

已知函數 (＞0)的圖象在點處的切線方程為.
(1)用表示；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：1+++…+＞+.

Answer 1

（Ⅰ）  （II）     (Ⅲ)見解析

（1）求函數導數得，根據導數的幾何意義得就可得到用表示的式子；（2）若在上恒成立，即在上恒成立。構造函數，利用，再討論的取值范圍研究的單調性使的最小值大于等于0可得的取值范圍；
（3）由（2）知當時,有,  () 若,有。結合要證的結論，令，。分別把的值代入，得到個不等式依次相加得整理即得結論。本題是與自然數有關的問題也可用數學歸納法證明
（Ⅰ） ，則有，解得…3分
（II）由（Ⅰ）知，
令，
則，……4分
(ⅰ)當時,,
若,則,單調遞減，所以即,
故在上不恒成立. …………6分
(ⅱ) 當時,,
若,則,是增函數,所以
即,故當時,. …………8分
綜上所述,所求的取值范圍為…………9分
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅱ)知,當時,有,  ()
令,有且當時, ……10分
令,有
即, …………12分
將上述個不等式依次相加得
整理得…………14分
解法二: 用數學歸納法證明
(1) 當時,左邊,右邊, 不等式成立.…………10分
(2) 假設時, 不等式成立, 就是

那么
由(Ⅱ)知,當時,有,  ()
令,有,  ()
令,有
所以
即
這就是說，當時, 不等式也成立。…………13分
根據(1)和(2)，可知不等式對任何都成立。