Question

某種商品原來定價每件p元，每月將賣出n件．假若定價上漲x成（注：x成即定價為原來的（1+

x

10

）倍，0＜x≤10，每月賣出數量將減少y成，而售貨金額變成原來的z倍．
（1）若y=ax，其中a是滿足

1

3

≤a＜1的常數，用a來表示當售貨金額最大時x的值．
（2）若y=

2

3

x，求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）定價上漲x成時，上漲后的定價、每月賣出數量、每月售貨金額分別是p（1+

x

10

），n（1-

y

10

），npz，寫出要的算式，根據基本不等式得到結果，求出答案；
（2）把所給的關系代入關系式，使得式子大于1，解出關于x的不等式，得到結果．

解答：解：（1）該商品定價上漲x成時，上漲后的定價、每月賣出數量、每月售貨金額分別是
p（1+

x

10

），n（1-

y

10

），npz
因而有：npz=p（1+

x

10

）•n（1-

y

10

），
∴z=

1

100

(10+x)(10-y)，在y=ax的條件下 …（4分）
z=

1

100a

(10a+ax)(10-ax)，
∵

1

3

≤a≤1，0＜x＜10，
∴10-ax＞0
∴（10a+ax）（10-ax）≤

[(10a+ax)+(10-ax)]2

4

=25(a+1)2，
當且僅當10a+ax=10-ax，即x=

5(1-a)

a

時成立．
即要使的銷售金額最大，只要z值最大，這時應有x=

5(1-a)

a

．  …（8分）
（2）由z=

1

100

(10+x)(10-

2x

3

)＞1
得0＜x＜5
即使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍事（0，5）…（12分）

點評：題主要考查了二次函數的應用，二次函數的最值，解一元二次方程等知識點，解此題的關鍵是把實際問題轉化成數學問題，這是一道很好的題目．