Question

（1）若方程7x²-（k+13）x+k²-k-2=0的兩根分別在（0，1）和（1，2）內，求k的取值范圍．
（2）已知方程x²+（m-2）x+2m-1=0有且只有一個實根在（0，1）內，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出方程對應的函數，據方程的根的分布畫出函數的圖象，結合圖象知函數在x=0時為正，x=1時為負，x=2時為正．
（2）設出方程對應的函數，據方程的根的分布畫出函數的圖象，結合圖象知函數在x=0及x=1處的函數值異號或判別式為0且對稱軸在（0，1）內．

解答：解：（1）令f（x）=7x²-（k+13）x+k²-k-2
∵方程7x²-（k+13）x+k²-k-2=0的兩根分別在（0，1）和（1，2）內
∴f（x）的圖象如下：

∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

即

k2-k-2＞0 k2-2k-8＜ k2-3k＞0

0
解得-2＜k＜-1或3＜k＜4
（2）令g（x）=x²+（m-2）x+2m-1
∵方程x²+（m-2）x+2m-1=0有且只有一個實根在（0，1）內
∴g（x）的圖象如下：

(2m-1)(3m-2)＜0或

△=0 0＜ 2-m 2 ＜1

解得

1

2

＜m＜

2

3

或m=6-2

7

點評：本題考查解二次方程實根分布的方法：畫出對應函數的圖象，結合圖象寫出系數滿足的條件．