Question

（2006•豐臺區一模）在平面直角坐標系中，已知三個點列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），滿足向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，且點列{B_n}在斜率為6的直線上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）試用a₁，b₁與n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）設a₁=a，b₁=-a，在a₆與a₇兩項中至少有一項是數列{a_n}的最小項，試求實數 a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因為點列{B_n}在斜率為6的直線上，利用斜率公式即可得數列{b_n}的遞推公式，進而由等差數列的定義證明數列{b_n}是等差數列；
（II）由已知向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，知直線A_nA_n+1與直線B_nC_n的斜率相等，利用斜率公式即可得數列{b_n}與數列{a_n}的遞推關系，最后利用累加法和等差數列的前n項和公式即可得；
（III）將數列{a_n}的通項公式用a表示，發現其函數模型為二次函數，在a₆與a₇兩項中至少有一項是數列{a_n}的最小項，則確定了對稱軸的范圍，從而解得a的范圍

解答：解：（Ⅰ）點列{B_n}在斜率為6的直線上，有 

bn+1-bn

(n+1)-n

=6⇒bn+1-bn=6
故數列{b_n}是公差為6的等差數列．                        
（Ⅱ）由向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，得直線A_nA_n+1與直線B_nC_n的斜率相等
即kAnAn+1=kBnCn，
∴

an+1-an

(n+1)-n

=

bn-0

n-(n-1)

=bn
∴b_n=a_n+1-a_n=b₁+6（n-1）
∴

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1

=

a1+b1(n-1)+ (n-1)(n-2) 2 ×6

∴a_n=3n²+（b₁-9）n+6+a₁-b₁（n≥2）
（Ⅲ）由已知和（Ⅱ）可得  a_n=3n²-（a+9）n+6+2a（n≥2）
設二次函數f（x）=3x²-（a+9）x+6+2a，f（x）是開口方向向上的拋物線
又∵在a₆與a₇兩項中至少有一項是數列{a_n}的最小項，則對稱軸為x=

a+9

6

在區間[

11

2

，

15

2

]內，
即

11

2

≤

a+9

6

≤

15

2

∴24≤a≤36

點評：本題考查了等差數列的定義、通項公式、前n項和公式的應用，累加法求數列的通項公式，數列的函數性質