Question

【題目】已知函數恰有兩個極值點，且.

（1）求實數的取值范圍；

（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求出,， ,令， ,由此利用導數性質能求出實數a的取值范圍.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得， ,兩式相減,得, ,從而 ,令，,得,令,則 ,令,則,,由此利用分類討論思想,結合導數性質能求出實數的取值范圍.

試題解析：

（1）因為，

依題意得為方程的兩不等正實數根，

∴， ，

令， ，

當時， ；

當時， ，

所以在上單調遞增，在上單調遞減， ，

當時， ，

所以

∴

解得，

故實數的取值范圍是.

（2）由（1）得， ， ，兩式相加得

，

故

兩式相減可得，

故

所以等價于，

所以

所以，

即，

所以，

因為，令，所以

即，令，

則在上恒成立， ，

令，

①當時， 所以在上單調遞減，

所以在上單調遞增，

所以符合題意

②當時， 所以在上單調遞增

故在上單調遞減，

所以不符合題意；

③當時，

所以在上單調遞增，

所以所以在上單調遞減，

故不符合題意

綜上所述，實數的取值范圍是.