Question

已知一個口袋中裝有個紅球（且）和個白球，從中有放回地連續摸三次，每次摸出兩個球，若兩個球顏色不同則為中獎，否則不中獎．

（1）當時，設三次摸球中（每次摸球后放回）中獎的次數為，求的分布列；

（2）記三次摸球中（每次摸球后放回）恰有兩次中獎的概率為，當取多少時，最大．

 

Answer 1

【答案】

（1）分布列見解析（2）

【解析】本題是一個在等可能性事件基礎上的獨立重復試驗問題，體現了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數是三次函數，運用了導數求三次函數的最值

（1）本題是一個等可能事件的概率，若n=3，一次摸獎中獎的概率p=5/9 ，三次摸獎是獨立重復試驗，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式進行求解即可；

（2）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸獎（每次摸獎后放回），恰有一次中獎的概率為P為P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）2=3p³-6p²+3p，當p= 時，P取得最大值．得到n的值．

解：（1）當時，每次摸出兩個球，中獎的概率

;    ;

;;

分布列為：

（2）設每次摸獎中獎的概率為，則三次摸球（每次摸獎后放回）恰有兩次中獎的概率為：，，

，知在上為增函數，在上為減函數，當時取得最大值．

又,  解得．