Question

注意：第（3）小題平行班學(xué)生不必做，特保班學(xué)生必須做．
已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，離心率e=

2

5

，過橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(

MA

+

MB

)⊥

AB

，求m的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，即b，利用離心率求得a和c關(guān)系進(jìn)而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得m的取值范圍；
（3）確定直線BC的方程，令y=0，結(jié)合A，B在l的方程y=k（x-2）上，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
拋物線方程化為x²=4y，其焦點(diǎn)為（0，1）則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，1），即b=1
由e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

5

，∴a²=5，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

5

+y²=1；
（2）由（1）得F（2，0），則0≤m≤2
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程，消去y可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

20k2

5k2+1

，x₁x₂=

20k2-5

5k2+1

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∵(

MA

+

MB

)⊥

AB

∴(

MA

+

MB

)•

AB

=0
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0
∴

20k2

5k2+1

-2m-

4k2

5k2+1

=0
∴k2=

m

8-5m

∴k2=

m

8-5m

＞0
∴0＜m＜

8

5

∴當(dāng)0＜m＜

8

5

時(shí)，(

MA

+

MB

)⊥

AB

；
（3）在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B、N三點(diǎn)共線
由題意C（x₁，-y₁），∴直線BC的方程為y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)
令y=0，則x=

y1x2+y2x1

y2+y1

∵A，B在l的方程y=k（x-2）上
∴y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）
∴x=

y1x2+y2x1

y2+y1

=

2kx1x2-2k(x1+x2)

k(x1+x2)-4k

=

2k× 20k2-5 5k2+1 -2k× 20k2 5k2+1

k× 20k2 5k2+1 -4k

=

5

2

∴在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N（

5

2

，0），使得C、B、N三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．