Question

【題目】設函數（，且），（其中為的導函數）.

（Ⅰ）當時，求的極大值點；

（Ⅱ）討論的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）的極大值點為．（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，由導函數討論函數的單調性可得的極大值點為．

(2)分類討論可得：當或時，有一個零點；當或時，有2個零點；當或時，有3個零點．

試題解析：

解：（Ⅰ），，解得．

當時，；當時，，故的極大值點為．

（Ⅱ）（1）先考慮時，的零點個數，當時，為單調減函數，

，，由零點存在性定理知有一個零點．

當時，由，得

，即，即，令，則．

由，得，當時，；當時，，

故，，且總成立，故的圖象如圖，

由數形結合知，

①若，即時，當時，無零點，故時，有一個零點；

②若，即時，當時，有一個零點，故時，有2個零點；

③若，即時，當時，有2個零點，故時，有3個零點．

（2）再考慮的情形，若，則，同上可知，

當，即時，有一個零點；

當，即時，有2個零點；

當，即時，有3個零點．

綜上所述，當或時，有一個零點；

當或時，有2個零點；

當或時，有3個零點．