Question

18、a、b、c是△ABC的三邊，求證a²+b²+c²＜2（ab+bc+ac）．

Answer 1

分析：先將待證不等式的右側變形為a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），利用三角形中邊的關系進行放縮即可．

解答：證明：2（ab+bc+ac）可變形為
ab+bc+ac+ab+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
因三角形兩邊和大于第三邊，
即b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c
故a²=a×a＜a（b+c），b²=b×b＜b（a+c），c²=c×c＜c（a+b）
所以a²+b²+c²＜a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
∴a²+b²+c²＜2（ab+bc+ac）．

點評：從已知條件出發，利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．