Question

已知函數，.
（1）若，求證：當時，；
（2）若在區間上單調遞增，試求的取值范圍；
（3）求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）將代入函數解析式，利用導數函數在區間上的單調性，進而由單調性證明；（2）解法一是“將函數在區間上單調遞增”轉化為“不等式在區間上恒成立”，然后利用參數分離法等價轉化為“不等式在區間上恒成立”，最終轉化為；解法二是先將問題轉化為在區間上恒成立，對參數進行分類討論，圍繞，從而對參數進行求解；（3）先將不等式等價轉化證明，在（2）中，令得到，然后在（2）中得到，兩邊取對數得到，在令，得到，再結合放縮法得到，需注意第一個不等式不用放縮法，即，利用累加法便可得到，從而證明相應的不等式.
試題解析：（1），則，，
在上單調遞增，，
故函數在上單調遞增，所以；
（2）解法一：，下求使恒成立的的取值范圍.
當時，由，得在上恒成立，
令，則有，則，令，解得，
列表如下：

	減	極小值	增

故函數在處取得極小值，亦即最小值，即，，
故實數的取值范圍是；
解法二：，下求使恒成立的的取值范圍.
若，顯然，則在區間上單調遞增；
記，則，
當時，，，，則在上單調遞增，
于是，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
于是，
由得，則，
綜上所述，的取值范圍是；
（3）由（1）知，對于，有，，
則，從而有，
于是
，
故.