Question

過△ABC內部一點M任作一條直線EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有，則點M是△ABC的（ ）
A．三條高的交點
B．三條中線的交點
C．三邊中垂線的交點
D．三內角平分線的交點

Answer 1

【答案】分析：設EF交AB，AC于G，H兩點，因為要使，只需要（*），設，，
所以（*）化為（**），只要（**）成立，這樣的M就滿足條件．由此入手能夠選出正確答案．
解答：解：設EF交AB，AC于G，H兩點，
因為要使，
只需要（*），
設，，
所以（*）化為（**），
只要（**）成立，
這樣的M就滿足條件．
因為M在EF上，
所以=t+（1-t）=tλ+（1-t）μ，
當M是三條中線的交點，
所以tλ=，（1-t）μ=，，3t，
容易驗證此時（**）成立，
所以M是三條中線的交點時，可以滿足題目條件．
故選B．
點評：本題考查三角形的五心的應用，解題時要認真審題，注意向量的靈活運用．