Question

已知函數．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）函數f（x）的圖象由函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？（寫出變換過程）
（3）在△ABC中，若，求tanA的值．

Answer 1

解：（1）∵==1-=1+sin2x，
∴=sin2x+=
所以f（x）的最小正周期T==π，
由，解得
∴函數f（x）的單增區間為[]，k∈Z
（2）函數f（x）的圖象可由函數y=sinx的圖象先向左平移個單位，
然后將圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，最后將圖象上的點橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍而得．
（3）由（1）得，所以
∵0＜C＜π，，
∴，可得，
∵在△ABC中，π-B=A+C，得sinB=sin（A+C）
∴2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）可化為：2sin（A+C）=cos（A-C）-cos（A+C）
展開化簡得：2sinAcosC+2cosAsinC=2sinAsinC，
將代入，得2sinAcos+2cosAsin=2sinAsin，
∴sinA+cosA=sinA，即（）sinA=-cosA，
所以．
分析：（1）用三角函數的降冪公式結合的誘導公式，可得=1+sin2x．代入函數f（x），再用輔助角公式：，進行合并化簡得f（x）=，最后可用函數y=Asin（ωx+φ）的周期與單調性的結論與公式，得到函數f（x）的最小正周期和單調增區間．
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規律，先進行相位變換將圖象左移，然后再分別進行橫坐標和縱坐標的伸縮，可得到函數f（x）=的變換過程．
（3根據（1）的表達式，解方程，結合C為三角形內角，得到，將其代入已知等式化簡可得（）sinA=-cosA，最后利用同角三角函數的關系，可得 tanA的值．
點評：本題給出一個特殊的三角函數，結合三角函數的降次公式、誘導公式和輔助角公式，求函數的單調區間與周期，以及求三角函數的值，著重考查了正弦函數的單調性、三角函數的化簡求值和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識點，屬于中檔題．