Question

函數y=Asin(ωx+φ)，(A＞0， ω＞0， |φ|＜

π

2

)的最小值是-2，在一個周期內圖象最高點與最低點橫坐標差是3π，又：圖象過點（0，1），
求（1）函數解析式，并利用“五點法”畫出函數的圖象；
（2）函數的最大值、以及達到最大值時x的集合；
（3）該函數圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮得到？
（4）當x∈(0，

3π

2

)時，函數的值域．

Answer 1

分析：（1）依題意，易求A，由

1

2

T=3π，T=

2π

ω

可求得ω，又圖象過點（0，1），|φ|＜

π

2

可求得φ，從而可得該函數的解析式．
（2）由函數的解析式即可得到函數的最大值、以及達到最大值時x的集合；
（3）根據函數圖象的平移變換法則，即可該函數圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象如何平移和伸縮得到；
（4）當x∈(0，

3π

2

)時，則

1

3

x+

π

6

的范圍可知，故函數y=2sin(

1

3

x+

π

6

)的值域可求．

解答：解：（1）由于函數y=Asin(ωx+φ)，(A＞0， ω＞0， |φ|＜

π

2

)的最小值是-2，
則A=2，
又由一個周期內圖象最高點與最低點橫坐標差是3π，
則

T

2

=3π，∴T=6π，
即

2π

|ω|

=6π（ω＞0）解得 ω=

1

3

又圖象過點（0，1），則令x=0  有2sinφ=1，
又由|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

，∴所求函數解析式為y=2sin(

1

3

x+

π

6

)，
利用“五點法”畫出函數的圖象為：
（2）令

1

3

x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=6kπ+π，k∈Z，
則當{x|x=6kπ+π，k∈Z}時，y=2sin(

1

3

x+

π

6

)取最大值2；  
（3）由y=sinx（x∈R）的圖象向左平移

π

6

個單位，再將圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的3倍，再將圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍，得到函數y=2sin(

1

3

x+

π

6

)的圖象；  
（4）當x∈(0，

3π

2

)時，則

1

3

x+

π

6

∈(

π

6

，

2π

3

)
故sin（

1

3

x+

π

6

）∈（

1

2

，1]，即y=2sin(

1

3

x+

π

6

)∈（1，2]，
故當x∈(0，

3π

2

)時，函數的值域為（1，2]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．