Question

（2011•廣東模擬）設α∈(0，

π

3

)，β∈(

π

6

，

π

2

)，且α，β滿足

5 3 sinα+5cosα=8 2 sinβ+ 6 cosβ=2

（1）求cos(α+

π

6

)的值．
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）將等式5

3

sinα+5cosα=8左邊提取10，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值求出sin（α+

π

6

）的值，由α的范圍求出α+

π

6

的范圍，利用同角三角函數間的基本關系化簡即可求出cos（α+

π

6

）的值；
（2）等式

2

sinβ+

6

cosβ=2左邊提取2

2

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，求出sin（β+

π

3

）的值，由β的范圍求出β+

π

3

的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（β+

π

3

）的值，將所求式子利用誘導公式sin（

π

2

+θ）=cosθ變形，其中的角

π

2

+α+β變形為（α+

π

6

）+（β+

π

3

），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵5

3

sinα+5cosα=8，
∴10（

3

2

sinα+

1

2

cosα）=8，即sin（α+

π

6

）=

4

5

，（3分）
∵α∈（0，

π

3

），∴α+

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），
∴cos（α+

π

6

）=

1-sin2(α+ π 6 )

=

3

5

；（4分）
（2）又∵

2

sinβ+

6

cosβ=2，
∴2

2

（

1

2

sinβ+

3

2

cosβ）=2，即sin（β+

π

3

）=

2

2

，（6分）
∵β∈（

π

6

，

π

2

），∴β+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），
∴cos（β+

π

3

）=-

2

2

，（7分）
∴cos（α+β）=sin[

π

2

+（α+β）]=sin[（α+

π

6

）+（β+

π

3

）]
=sin（α+

π

6

）cos（β+

π

3

）+cos（α+

π

6

）sin（β+

π

3

）
=

4

5

×（-

2

2

）+

3

5

×

2

2

=-

2

10

．（12分）

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式，靈活變換角度是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．本題中靈活運用角的變換的技巧達到了用已知表示未知，在求值題中，這是一個重要的經驗！