Question

2、給出下列命題：
（1）直線a與平面α不平行，則a與平面α內的所有直線都不平行；
（2）直線a與平面α不垂直，則a與平面α內的所有直線都不垂直；
（3）異面直線a、b不垂直，則過a的任何平面與b都不垂直；
（4）若直線a和b共面，直線b和c共面，則a和c共面．其中錯誤命題的個數為

3

．

Answer 1

分析：根據空間中直線與平面之間位置關系的判定，（1）中若直線a與平面α不平行，則直線a也可能在平面α內，則此時a與平面α內的無數條直線平行；（2）中若直線a與平面α不垂直，則a與平面α內的有無數條直線都垂直；（4）中直線a和b共面，直線b和c共面，a和c可能平行、相交也可能異面．分析即可得到答案．

解答：解：若直線a與平面α不平行，則直線a也可能在平面α內，則此時a與平面α內的無數條直線平行，故（1）錯誤；
若直線a與平面α不垂直，則a與平面α內的有無數條直線都垂直，故（2）也錯誤；
假設過a的平面α與b垂直，由線面垂直的定義，則a⊥b，這與異面直線a、b不垂直相矛盾，故（3）正確
直線a和b共面，直線b和c共面，a和c可能平行、相交也可能異面，故a和c不一定共面，故（4）錯誤
即4個結論中有3個是錯誤的
故答案為：3

點評：要證明一個結論是正確的，我們要經過嚴謹的論證，要找到能充分說明問題的相關公理、定理、性質進行說明；但要證明一個結論是錯誤的，我們只要舉出反例即可．