Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n,首項為a₁,且,a_n,S_n成等差數列.
(1)求數列{a_n}的通項公式;
(2)若=,設c_n=,求數列{c_n}的前n項和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2^n-2      (2) T_n=

解:(1)由題意知2a_n=S_n+,a_n>0,
當n=1時,2a₁=a₁+,∴a₁=.
當n≥2時,S_n=2a_n-,
S_n-1=2a_n-1-,
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1,
整理得=2,
∴數列{a_n}是以為首項,2為公比的等比數列.
a_n=a₁·2^n-1=×2^n-1=2^n-2.
(2)==2^2n-4,
∴b_n=4-2n,
∴c_n==,
即c_n=.
則T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n,
即T_n=+++…+.
∴T_n=+++…+,
則T_n=4+++…+-.
T_n=8-(++…+)+
=8-+
=8-8(1-)+
=+
=+=.
即T_n=.