Question

在四棱錐中，//，，，平面，.

（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

（1）見解析（2），（3）

試題分析：（1）建立如圖所示坐標系，

寫出坐標，可得坐標，由＝，＝知，.所以平面；（2）由向量的夾角可知異成直線與所成角；（3）為線段上一點，設其中可得，由直線與平面所成角的正弦值為，利用與平面的法向量夾角,可得.其中為直線與平面所成角.．即 .
試題解析：（1）證明：因為，，所以以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，     １分
則，，，.
所以 ，，
，              ２分
所以，
.
所以 ，.
因為 ，平面，
平面，
所以 平面. ４分
（2） ， ５分

異成直線與所成角的余弦值 8分
（3）解：設（其中），，直線與平面所成角為.
所以 .所以 .
所以 即.      ９分
所以 .
平面的一個法向量為.      １０分
因為 ，
所以 .  １１分
解得 .所以 .        12分