Question

已知函數f(x)=x+

a

x

+b，其中a，b為實數．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=4，且f（-1）=-2，求函數f（x）在（0，+∞）上的單調區間，并用定義加以證明；
（3）在（2）的條件下，求函數f（x）在[

1

2

，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶性的定義即可判斷，注意考慮參數；
（2）由f（1）=4，且f（-1）=-2可求得a，b值，從而求得f（x），利用導數可求得其單調區間，然后用定義證明即可；
（3）由（2）可知f（x）在[

1

2

，3]上的單調性，據單調性即可求得其最值；

解答：解：（1）f（x）的定義域為{x|x≠0}．
f（-x）+f（x）=（-x-

a

x

+b）+（x+

a

x

+b）=2b，
只有當b=0時f（x）為奇函數；
（2）由f（1）=4，f（-1）=-2，可得

1+a+b=4 -1-a+b=-2

，解得a=2，b=1．
則f（x）=x+

2

x

+1，f′（x）=1-

2

x2

，令f′（x）＞0解得x＞

2

，令f′（x）＜0解得0＜x＜

2

，
所以f（x）的增區間是（

2

，+∞），減區間是（0，

2

）；
設

2

＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

+1）-（x2+

2

x2

+1）=(x1-x2)

(x1x2-2)

x1x2

，
因為

2

＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＞0，x₁x₂＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）是（

2

，+∞）上的增函數；
設0＜x₁＜x₂＜

2

，則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

+1）-（x2+

2

x2

+1）=(x1-x2)

(x1x2-2)

x1x2

，
因為0＜x₁＜x₂＜

2

，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-20，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）是（0，

2

）上的增函數．
（3）由（2）知：f（x）在[

1

2

，

2

]上遞減，在[

2

，3]上遞增，
所以f（x）的最小值為f（

2

）=2

2

+1，
又f（

1

2

）=

11

2

，f（3）=

14

3

，
所以f（x）的最大值為f（

1

2

）=

11

2

．

點評：本題考查函數奇偶性、單調性及其應用，考查函數在閉區間上的最值，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．