Question

已知f（x）是奇函數且對任意正實數x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則一定正確的是（　　）

A．f（x）在R上是減函數

B．f（x）在R上是增函數

C．f（3）＞f（-3）

D．f（-4）＜f（-5）

Answer 1

分析：由已知中f（x）是奇函數且對任意正實數x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，根據函數單調性的定義及奇函數在對稱區間上單調性相同，我們可以判斷出函數在（0，+∞）上和（-∞，0）上均為減函數，但由于函數不一定連續，故無法判斷函數在R上的單調性，比照四個答案中的結論，即可得到答案．

解答：解：∵對任意正實數x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上為減函數
又∵f（x）是奇函數
∴函數在（-∞，0）上為減函數
但函數在R上的單調性無法確定
故A中，f（x）在R上是減函數，不一定正確；
B中，f（x）在R上是增函數，不一定正確；
C中，f（3）＞f（-3），不一定正確；
D中，f（-4）＜f（-5），一定正確；
故選D

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性，函數的單調性，其中根據據函數單調性的定義及奇函數在對稱區間上單調性相同，判斷出函數的在（0，+∞）上和（-∞，0）上及R上的單調性，是解答本題的關鍵．