Question

選做題：（從所給的A，B兩題中任選一題作答，若做兩題，則按第一題A給分，共5分）
A．在極坐標系（ρ，θ）（0≤θ≤2π）中，曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點坐標為

 

．
B．已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x²+y²+z²+3≥2（x+y+z）；（2）

x+y

2

≥

xy

；
（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x²+y²+z²≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序號是

 

．

Answer 1

分析：A 把極坐標方程化為直角坐標方程求出交點的坐標，再把交點的坐標化為極坐標．
B 利用作差法及絕對值不等式的性質判斷兩個式子的大小關系．

解答：解：A 曲線ρ=2sinθ  即 ρ²=2ρsinθ，化為直角坐標方程為 x²+（y-1）²=1．
 ρcosθ=-1即x=-1，把x=-1代入x²+（y-1）²=1可得交點坐標為（-1，1），
該點到原點的距離為

2

，該點在第二象限的平分線上，
故極角為

3π

4

，故交點的極坐標為(

2

，

3π

4

)，
故答案為 (

2

，

3π

4

)．
B∵x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，∴x²+y²+z²+3≥2（x+y+z）成立．
故（1）正確．
當 x和y 為負數時，（2）顯然不成立．
∵|x+y|=|x-2+y+2|≤|x-2|+|y+2|，故（3）正確．
∵x²+y²+z²-（xy+yz+zx ）=

(x-y)2

2

+

(y-z)2

2

+

(z-x)2

2

≥0，故（4）正確．

點評：本題考查極坐標與直角坐標的互化，絕對值不等式的性質，變形是解題的關鍵．