Question

如圖所示，D為正△ABC的邊BC的中點，從D發出光線射到AC邊每一點的概率相同，求由D發出的光線，先后經AC邊，AB邊反射后仍落在BC邊上的概率．

Answer 1

分析：利用光的反射定律及等邊三角形的性質證明△DD₁C∽△D_2D1A∽△D₂D₃B，再根據相似三角形對應邊成比例得到用含D₃B的代數式表示D₁C的式子，然后由0＜BD₃＜2 即可求出D₁C長的取值范圍，然后代入幾何概率的求解公式可求

解答：解：設正三角形的邊長為2
∵反射角等于入射角，
∴∠DD₁C=∠D₂D₁A=∠D₂D₃B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△DD₁C∽△D₂D₁A∽△D₂D₃B，
∴

CD

CD1

=

AD2

AD1

=

BD2

BD3

設D₁C=x，D₂A=y，則D₁A=2-x，D₂B=2-y．
∴

1

x

=

y

2-x

=

2-y

BD3

∴

xy=2-x 2x-xy=D3B

∴x=

1

3

（2+D₃B）．
又∵0＜BD₃＜2，
∴

2

3

＜x＜

4

3

所求的概率P=

4 3 - 2 3

2

=

1

3

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，在解題時要根據等邊三角形的性質找出對應點是解此題的關鍵，難度較大．