Question

 

已知函數f(x)=x³-ax²-3x

①若f(x)在區間[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；

②若x=-是f(x)的極值點，求f(x)在[1，a]上的最大值；

③在②的條件下，是否存在實數b，使得函數g(x)=bx的圖象與f(x)的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）f′(x)=3xax-3,…………………………1分

∵f(x)在[1，+∞）上是增函數，

∴在[1，+∞）上恒有f′(x)≥0，即3xax-3≥0在[1，+∞）上恒成立.

3

則必有…………………………3分

∴a≤0…………………………………………5分

（2）依題意，f′(-)=0，即+a-3=0………………………………6分

∴a=4, ∴f(x)=xxx,令f′(x)=3xx-3=0，則x₁=-(舍)，x₂=3.………………………8分

則

∴在[1，4]上的最大值是f(1)=-6.…………………………10分

（3）函數g(x)=bx的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，即方程xxx=bx恰有3個不等實根.……………………………………11分

∴xxx-bx=0, ∴x=0是其中一個根.…………………………12分

4

∴，∴b＞-7且b≠-6.………………14分