Question

f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf′（x）+f（x）≤0對任意正數a，b若a＜b，給出下列四個結論：
（1）bf（b）≤af（a）；
（2）af（a）≤bf（b）；
（3）bf（a）≤af（b）；
（4）af（b）≤bf（a）．
其中正確結論的序號是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：先確定f′（x）≤0得到函數f（x）是單調遞減的，即可得到答案．

解答：解：因為[xf（x）]′=xf′（x）-f（x）≤0，
所以函數xf（x）為單調遞減函數．
因為a＜b，所以af（a）≥bf（b），
故（1）正確；
因為xf′（x）-f（x）≤0，所以f′（x）≤

f(x)

x

因為f（x）為非負，x為正，
所以f′（x）＜0，函數f（x）為單調遞減函數．
所以f（a）＞f（b）＞0，又因為0＜a＜b
所以af（b）＜bf（a），故（4）正確；
故答案為 （1）（4）

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，f′（x）≤0得到函數f（x）是單調遞減的是解題的關鍵．屬基礎題．