Question

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， .

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理求得，由此可推出，然后利用勾股定理推出，從而使問題得證；（Ⅱ）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，然后求出相關點的坐標與向量，從而求得平面與平面的法向量，進而利用空間夾角公式求解．

試題解析：（Ⅰ）證明：在中， ，由已知， ， ，

解得，所以，即，可求得．

在中，

∵, , ,

∴,∴,

∵平面, ,∴平面．

（Ⅱ）過作直線垂直于，以為坐標原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系．

∵由（Ⅰ）可知，平面平面，∴在平面上的投影一定在上，過作于，則， ，則，

易求， ， ，

則， ， ，

設平面的法向量， 解得．　

同理可求得平面的法向量，

∴.