Question

在△ABC中，已知tan=sinC，給出以下四個論斷：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤，
③sin²A+cos²B=1，
④cos²A+cos²B=sin²C，
其中正確的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

Answer 1

【答案】分析：先利用同角三角函數的基本關系和二倍角公式化簡整理題設等式求得cos=進而求得A+B=90°進而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用兩角和公式化簡，利用正弦函數的性質求得其范圍符合，②正確；
③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函數的基本關系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，進而根據C=90°可知sinC=1，進而可知二者相等．④正確．
解答：解：∵tan=sinC
∴=2sincos
整理求得cos（A+B）=0
∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正確．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）
45°＜A+45°＜135°，
＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤，
所以②正確
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C．
所以④正確．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正確．
綜上知②④正確
故選B．
點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．