Question

數列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

a

2 n

+an(n∈N*)，則m=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2013+1

的整數部分是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：把給出的遞推式變形得到

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

然后利用累加法進行化簡，再由遞推式求出第2014項的范圍后可得m的整數部分．

解答：解：由an+1=

a

2 n

+an(n∈N*)，得a_n+1=a_n（a_n+1），
∴

1

an+1

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，則

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

．
所以m=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2013+1

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

a2013

-

1

a2014

)
=

1

a1

-

1

a2014

=2-

1

a2014

．
an+1=an2+an，所以an+1-an=an2≥0，
而a2=a12+a1=

1

4

+

1

2

=

3

4

，a3=a22+a2=

9

16

+

3

4

=

21

16

＞1．
所以a₂₀₁₄≥a₂₀₁₃≥…≥a₃＞1，則0＜

1

a2014

＜1．
由m=2-

1

a2014

，所以1＜m＜2，所以m的整數部分為1．
故選B．

點評：本題考查了數列的概念及簡單表示法，考查了累加法求得數列的和，解答此題的關鍵是由遞推式得到列項公式，是在中檔題．