Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在點（-1，f（-1））
處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最小值時，求函數g（x）=-f（x）e^-x的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c與a的解析式，解出c；求出f'（x），因為在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，得到切線的斜率為0，即f′（-1）=0，代入導函數得到b與a的關系式，解出b即可．
（Ⅱ）把第一問中的b與c代入bc中化簡可得bc是關于a的二次函數，根據二次函數求最值的方法求出bc的最小值并求出此時的a、b和c的值，代入f（x）中得到函數的解析式，根據求導法則求出g（x）的導函數，將f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分區間討論g′（x）的正負即可得到g（x）的增減區間．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因為曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲線y=f（x）在（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=2a(2a+3)=4(a+

3

4

)2-

9

4

，
故當a=-

3

4

時，bc取得最小值-

9

4

．
此時有b=-

3

2

，c=

3

2

．
從而f(x)=-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

，f′(x)=-

3

2

x-

3

2

，g（x）=-f（x）e^-x=（

3

4

x²+

3

2

x-

3

2

）e^-x，
所以g′(x)=[f(x)-f′(x)e-x]=-

3

4

(x2-4)e-x
令g'（x）=0，解得x₁=-2，x₂=2．
當x∈（-∞，-2）時，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-∞，-2）上為減函數；
當x∈（-2，2）時，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上為增函數．
當x∈（2，+∞）時，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上為減函數．
由此可見，函數g（x）的單調遞減區間為（-∞，-2）和（2，+∞）；單調遞增區間為（-2，2）．

點評：本題是一道綜合題，要求學生會利用導數研究函數的單調性，會利用導數研究曲線上某點的切線方程．做題時注意復合函數的求導法則．