Question

【題目】已知m＞1，直線l：x﹣my﹣ =0，橢圓C： +y2=1，F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點． （Ⅰ）當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，△AF1F2 ， △BF1F2的重心分別為G、H．若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：因為直線l：x﹣my﹣ =0，經過F2（ ，0）， 所以 = ，得m2=2，
又因為m＞1，所以m= ，
故直線l的方程為x﹣ y﹣1=0．
（Ⅱ）解：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由 ，消去x得
2y2+my+ ﹣1=0
則由△=m2﹣8（ ﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2=﹣ ，y1y2= ﹣ ．
由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O為F1F2的中點，
由 ， =2 ，可知G（ ， ），H（ ， ）
|GH|2= +
設M是GH的中點，則M（ ， ），
由題意可知2|MO|＜|GH|
即4[（ ）2+（ ）2]＜ + 即x1x2+y1y2＜0
而x1x2+y1y2=（my1+ ）（my2+ ）+y1y2=（m2+1）（ ）
所以（ ）＜0，即m2＜4
又因為m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范圍是（1，2）．

【解析】（1）把F2代入直線方程求得m，則直線的方程可得．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．直線與橢圓方程聯立消去x，根據判別式大于0求得m的范圍，且根據韋達定理表示出y1+y2和y1y2 ， 根據 ， =2 ，可知G（ ， ），h（ ， ），表示出|GH|2 ， 設M是GH的中點，則可表示出M的坐標，進而根據2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表達式代入求得m的范圍，最后綜合可得答案．