Question

函數f（x）是定義域為R的偶函數，且對任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x）成立．當x∈[0，1]時，f（x）=log_a（2-x）（a＞1）．
（1）當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，求f（x）的表達式；
（2）若f（x）的最大值為，解關于x的不等式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x+2）=f（x）可得2是f（x）周期，當x∈[2k-1，2k]時，x-2k∈[-1，0），代入可得f（x）=log_a[2+（x-2k）]；當x∈[2k，2k+1]（k∈Z）時，x-2k∈[0，1]，代入可得f（x）=f（x-2k）=log_a[2-（x-2k）]．
（2）f（x）的最大值為，求出a=4，再求x∈[-1，1時的解集，利用周期為2，可得不等式的解集．．
解答：解：（1）當x∈[-1，0）時，f（x）=f（-x）=log_a[2-（-x）]=log_a（2+x）．
當x∈[2k-1，2k）（k∈Z）時，x-2k∈[-1，0），f（x）=f（x-2k）=log_a[2+（x-2k）]．
當x∈[2k，2k+1]（k∈Z）時，x-2k∈[0，1]，f（x）=f（x-2k）=log_a[2-（x-2k）]．
故當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，f（x）的表達式為
（2）∵f（x）是以2為周期的周期函數，且為偶函數，∴f（x）的最大值就是當x∈[0，1]時，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=log_a（2-x）在[0，1]上是減函數，∴，∴a=4．
當x∈[-1，1]時，由得或
得．
∵f（x）是以2為周期的周期函數，
∴的解集為．
點評：本題主要考查周期函數，解題的關鍵是正確利用周期，及已知定義域上的解析式，屬于中檔題．