Question

如果復數z=cosθ+isinθ，θ∈（0，

π

2

），記n（n∈N^*）個Z的積為Z^N，通過驗證n=2，n=3，n=4…，的結果zⁿ，推測zⁿ=______．（結果用θ，n，i表示）

Answer 1

由條件，復數z=cosθ+isinθ，θ∈（0，

π

2

），z¹=cosθ+isinθ，
z²=（cosθ+isinθ）²=cos2θ-sin2θ+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ，
z³=（cosθ+isinθ）³
=（cos2θ+isin2θ）（cosθ+isinθ）
=cos2θcosθ-sin2θsinθ+i（sin2θcosθ+cos2θsinθ）
=cos3θ+isin3θ；
推測zⁿ=cosnθ+isinnθ．
故答案為：cosnθ+isinnθ．