Question

已知空間任一點O和不共線的三點A，B，C，滿足是“點P位于平面ABC內”的

1. A.
   充分但不必要條件
2. B.
   必要但不充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   既不充分也不必要條件

Answer 1

C
分析：要尋求四點A、B、C、D共面的充要條件，自然想到共面向量定理．用 表示出 ，進而用 表示 ，三者的系數之和為1即可找出答案．
解答：已知空間任一點O和不共線的三點A，B，C，滿足是“點P位于平面ABC內”的充要條件．證明如下：
（必要性）依題意知，B、C、D三點不共線，
則由共面向量定理的推論知：四點A、B、C、D共面
?對空間任一點O，存在實數x₁、y₁，使得 =+x₁ +y₁
=+x₁（ -）+y₁（ -）
=（1-x₁-y₁） +x₁ +y₁ ，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
則有 =x +y +z ，且x+y+z=1．
（充分性）對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．
所以x=1-y-z得 =（1-y-z） +y +z ．
=+y +z ，即：，
所以四點A、B、C、D共面．
所以，空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：
對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．
故選C．
點評：本題考查共線向量與共面向量定理，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．