Question

在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．若AC=BD=a，且AC與BD所成的角為60°，則四邊形EFGH的面積為（　　）

• A．

  3

  8

  a2
• B．

  3

  4

  a2
• C．

  3

  2

  a2
• D．

  3

  a2

Answer 1

分析：先證明四邊形EFGH為菱形，然后說明∠EFG=60°，最后根據三角形的面積公式即可求出所求．

解答：解：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=BD．
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．
所以EH∥FG，且EH=FG．
所以四邊形EFGH為平行四邊形．
因為AC=BD=a，AC與BD所成的角為60°
所以EF=EH．所以四邊形EFGH為菱形，∠EFG=60°．
∴四邊形EFGH的面積是2×

3

4

×（

a

2

）²=

3

8

a²．
故選A．

點評：本題主要考查知識點：簡單幾何體和公理四，公理四：和同一條直線平行的直線平行，證明菱形常用方法是先證明它是平行四邊形再證明鄰邊相等相等，以及面積公式，屬于中檔題．