Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，g（x）與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，若g（x）=a（x-2）-（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x=1時，f（x）取得極值，證明：對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的單調函數，且當x≥1，f（x）≥1時，有f[f（x）]=x，求證：f（x）=x．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），從而可求出函數f（x）的解析式；
（2）利用當x=1時，f（x）取得極值，可求函數的解析式，從而f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數，進而確定|f（x₁）-f（x₂）|最小值，證明即可．
（3）分類討論：f（x）在[1，+∞）是減函數，時a不存在；f（x）在[1，+∞）是增函數，即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．故a≤3． 從而可證．
解答：解：（1）∵f（x）與g（x）的圖象關于x=1對稱，
設點M（x，f（x））是f（x）上的任意一點．則點M關于x=1的對稱點（2-x，g（2-x））在函數g（x）的圖象上．
∴f（x）=g（2-x）=-ax+x³．  …（3分）
（2）f′（x）=-a+3x²，又x=1是函數f（x）的一個極值點，
∴f′（1）=0⇒-a+3=0，得a=3，…（4分）
故f（x）=-3x+x³．f′（x）=-3+3x²=-3（x+1）（x-1），當x∈[-1，1]，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數．  …（5分）f_min（x）=f（1）=-2，f_max（x）=f（-1）=2，…（7分）
故對任意x₁，x₂∈（-1，1），有|f（x₁）-f（x₂）|＜|2-（-2）|=4．  …（8分）
（3）若f（x）在[1，+∞）是減函數，則f′（x）=-a+3x²＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x²在[1，+∞）上恒成立，此時a不存在；  …（9分）
若f（x）在[1，+∞）是增函數，即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．  …（11分）
設f（x）＞x≥1則f[f（x）]＞f（x），∴x＞f（x）矛盾，…（13分）
若x＞f（x）≥1則f（x）＞f[f（x）]∴f（x）＞x矛盾！
故f（x）=x．                                           …（15分）
點評：本題主要考查了函數的奇偶性、對稱性，利用導數研究函數的單調性，以及函數的解析式的求解和恒成立的證明，考查綜合分析和解決問題的能力．